rumus luas dan keliling segiempat sembarang

Pada segi empat sembarang ABCD, untuk menentukan kelilingnya, kita tinggal jumlahkan panjang sisi-sisinya yaitu:

• Keliling: K = AB + BC + CD + AD

Sedangkan untuk menentukan luasnya, kita bisa membagi segi empat sembarang tersebut menjadi dua buah segitiga, kemudian kita hitung luas kedua segitiga tersebut lalu dijumlahkan. Untuk menentukan luas segitiga yang panjang sisi-sisinya a, b dan c adalah:

• L = ½ × a × b × sin C
• L = ½ × a × c × sin B
• L = ½ × b × c × sin A
• L = [tex]\sqrt{s(s \:-\: a)(s \:-\: b)(s \:-\: c)} [/tex]
• s = ½ (a + b + c)

Jadi luas segi empat sembarang ABCD dapat menggunakan rumus berikut:

L = Luas ΔABC + Luas ΔACD

  = ½ × AB × BC × sin B + ½ × AD × CD × sin D

atau

L = Luas ΔABD + Luas ΔBCD

  = ½ × AD × AB × sin A + ½ × CB × CD × sin C

Penjelasan dengan langkah-langkah

Segi empat sembarang adalah segi empat yang memiliki panjang sisi yang berbeda, serta besar sudut yang berbeda juga. Berikut akan diberikan dua contoh untuk menentukan keliling dan luas segi empat sembarang.

Contoh 1

Diketahui

ABCD adalah segi empat sembarang yang sisi-sisinya merupakan tali busur lingkaran.

• AB = 1 cm
• BC = 2 cm
• CD = 3 cm
• AD = 4 cm

Ditanyakan

Tentukan keliling dan luas segi empat ABCD tersebut!

Jawab

Langkah 1

Keliling segi empat ABCD.

K = AB + BC + CD + AD

   = 1 cm + 2 cm + 3 cm + 4 cm

   = 10 cm

Langkah 2

Sisi-sisi segi empat ABCD adalah tali busur lingkaran, maka sudut-sudut segi empat tersebut merupakan sudut keliling lingkaran. Misal sudut B adalah α, maka sudut D adalah (180˚ – α) karena sudut keliling yang berhadapan pada lingkaran berjumlah 180˚. Kita akan mencari sin α dengan menggunakan aturan kosinus.

                                            AC² = AC²

AB² + CB² – 2 . AB . CB . cos α = CD² + AD² – 2. CD . CB . cos (180˚ – α)

            1² + 2² – 2 . 1 . 2 . cos α = 3² + 4² – 2. 3 . 4 . –cos α

                           1 + 4 – 4 cos α = 9 + 16 + 24 cos α

                  –4 cos α – 24 cos α = 9 + 16 – 1 – 4

                                   –28 cos α = 20

                                           cos α = [tex]\frac{20}{-28}[/tex]

                                           cos α = [tex]-\frac{5}{7}[/tex]

Langkah 3

cos α = [tex]-\frac{5}{7}[/tex] = [tex]-\frac{sa}{mi}[/tex]

• sa = 5
• mi = 7

de = [tex]\sqrt{7^{2} \:-\: 5^{2}}[/tex]

     = [tex]\sqrt{49 \:-\: 25}[/tex]

     = [tex]\sqrt{24}[/tex]

     = [tex]2\sqrt{6}[/tex]

Jadi nilai dari sin α adalah:

sin α = [tex]\frac{de}{mi}[/tex] = [tex]\frac{2 \sqrt{6}}{7}[/tex]

Langkah 4

Luas segi empat ABCD adalah:

L = Luas ΔABC + Luas ΔACD

 = ½ × AB × BC × sin B + ½ × AD × CD × sin D

 = ½ × 1 cm × 2 cm × sin α + ½ × 4 cm × 3 cm × sin (180˚ – α)

 = 1 cm² × sin α + 6 cm² × sin α

 = 7 cm² × sin α

 = 7 cm² × [tex]\frac{2 \sqrt{6}}{7}[/tex]

 = [tex]2 \sqrt{6}[/tex] cm²

Contoh 2

Diketahui

Segi empat ABCD sembarang dengan ukuran:

• AB = 20 cm
• BC = 10 cm
• CD = 8√3 cm
• AD = 6√3 cm
• ∠B = 60˚

Ditanyakan

Tentukan keliling dan luas segi empat sembarang tersebut!

Jawab

Langkah 1

Keliling segi empat ABCD.

K = AB + BC + CD + AD

   = 20 cm + 10 cm + 8√3 cm + 6√3 cm

   = (30 + 14√3) cm

Langkah 2

Luas ΔABC = ½ × AB × BC × sin B

                   = ½ × 20 cm × 10 cm × sin 60˚

                   = 100 cm² × ½ √3

                   = 50√3 cm²

Langkah 3

Pada segitiga ABC, kita cari panjang AC dengan menggunakan aturan kosinus.

AC² = AB² + BC² – 2 . AB . BC . cos B

AC² = 20² + 10² – 2 . 20 . 10 . cos 60˚

AC² = 20² + 10² – 2 . 20 . 10 . ½

AC² = 400 + 100 – 200

AC² = 300

AC = 10√3

Langkah 4

Pada segitiga ACD, nilai setengah keliling segitiganya adalah:

s = ½ (AC + CD + AD)

  = ½ (10√3 cm + 8√3 cm + 6√3 cm)

  = ½ (24√3 cm)

  = 12√3 cm

Luas ΔACD = [tex]\sqrt{s(s \:-\: AC)(s \:-\: CD)(s \:-\: AD)} [/tex]

                   = [tex]\sqrt{12 \sqrt{3}(12 \sqrt{3} \:-\: 10\sqrt{3})(12 \sqrt{3} \:-\: 8 \sqrt{3})(12 \sqrt{3} \:-\: 6 \sqrt{3})} [/tex]

                   = [tex]\sqrt{12 \sqrt{3}(2\sqrt{3})(4 \sqrt{3})(6 \sqrt{3})} [/tex]

                   = [tex]\sqrt{5184} [/tex]

                   = 72 cm²

Langkah 5

Luas segi empat ABCD adalah:

L = Luas ΔABC + Luas ΔACD

  = 50√3 cm² + 72 cm²

  = (50√3 + 72) cm²

Pelajari lebih lanjut  

1. Materi tentang aturan kosinus https://brainly.co.id/tugas/8751600
2. Materi tentang aturan sinus: brainly.co.id/tugas/14119958
3. Materi tentang luas segitiga: brainly.co.id/tugas/1844726

------------------------------------------------    

Detil Jawaban      

Kelas: 10

Mapel: Matematika

Kategori: Trigonometri Dasar

Kode: 10.2.6

#AyoBelajar #SPJ2